alexandr_palkin (alexandr_palkin) wrote,
alexandr_palkin
alexandr_palkin

Category:

Что на самом деле доказывал Григорий Перельман

Яндекс показывает, что вопрос о том, кто и как доказал гипотезу Пуанкаре, популярный. Но он неправильный (Это уже не Яндекс, а я так думаю.). Самое интересное в истории с гипотезой Пуанкаре, -- не кто и как, а что именно. По дороге сама гипотеза сместилась из центра на обочину. Григорий Перельман справился с большей проблемой, а гипотеза Пуанкаре получилась как простое следствие.


К концу XIX века уже были известны топологические типы двумерных «хороших» поверхностей. Довольно трудно объяснить, какие поверхности «хорошие», но я нарисую кое-что нехорошее:

У поверхности окрестность любой точки должна быть похожа на диск. Под номером 1 – не поверхность, ведь у выделенной точки ближайшая окрестность – трехлепестковая штучка, а не просто диск. Хорошая поверхность должна быть связной, безграничной и конечной.

Хорошие поверхности уже можно классифицировать.

Скажем, поверхности мяча, бублика и кренделя – разных типов, непрерывными преобразованиями нельзя одну деформировать в другую. Непрерывно деформировать – значит растягивать, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.

Здесь важно, что мы, жители 3-мерного пространства, с одного взгляда отличаем эти поверхности. А что же их плоские обитатели, которые не могут выбраться в третье измерение? Им было бы непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором они живут. Скажем, муравей, который живет на бублике, не видит дырки от бублика – он воспринимает только двумерную поверхность, на которой живет. Но муравей может расположить на поверхности веревочную петлю, которую невозможно стянуть в точку. Так он и определит, что живет не на сфере, ведь на сфере любая петля в точку стягивается.

Нам, обычным трехмерным жителям привычного трехмерного пространства, тоже непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором мы живем! Мы не можем выбраться в следующее измерение, чтобы посмотреть на наш мир снаружи. Придется научиться характеризовать трехмерный мир по его внутренней природе, а не по тому, как он вписывается в гипотетическое следующее измерение.

В начале XX века Анри Пуанкаре хотел разобраться с трехмерными многообразиями (аналогами поверхностей). Он высказал обманчиво простое утверждение:

если на трехмерном многообразии (без границы, конечном) любой контур стягивается в точку, оно должно быть топологически эквивалентно 3-мерной сфере.

3-мерная сфера – непростой объект. Возьмем двумерный диск в виде гибкой пленки с границей в виде гибкого шнурка. Продавим диск, чтобы получился этакий мешок, а потом стянем шнурок-границу в точку. Получим 2-мерную сферу, на которую мы смотрим из трехмерного пространства. Теперь сделаем то же самое с трехмерным диском (обычно мы называем трехмерный диск шаром). Стянем его границу в точку и получим 3-мерную сферу. Говорят, есть такие люди, которые могут это с легкостью представить.




Эту гипотезу можно обобщить; обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит примерно то же самое, но только для размерностей выше 3. И вот для больших (больше 4) размерностей ее доказал в 1960-1970-х годах прошлого века Стивен Смейл (он составлял список задач XXI века и поместил в него гипотезу Пуанкаре).



Для размерности 4 доказательство придумал Марк Фридман в 1982 году. И только родная, домашняя размерность 3 никак не поддавалась.


Тем временем топология не стояла на месте. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия. Это куда круче, чем характеризовать одну только 3-мерную сферу. Он придумал разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми стандартных геометрий. На помощь топологии Тёрстон призвал геометрию с такими элементами как расстояния и углы – топология обычно их и не рассматривает. Так возникла программа геометризации Тёрстона – охарактеризовать каждое трехмерное многообразие набором геометрий на нем. Гипотеза Пуанкаре стала бы просто следствием этой программы.


В 1982 году Ричард Гамильтон придумал новый метод в геометрическом анализе – потоки Риччи. Этот метод позволял преобразовывать метрику пространства: там, где кривизна отрицательная, -- увеличить, там, где большая положительная, -- уменьшить. И если исходное многообразие было похоже на сферу, оно в сферу и превратится.

Но с этими потоками Риччи была такая беда: при таком преобразовании иногда возникали особенности. Особенности мешали потокам течь куда надо, и тогда Билл Браудер и Джон Милнор придумали метод хирургии: надо разрезать сингулярность и заклеить потом места разреза. К несчастью, эти сингулярности иногда ведут себя как многоголовая гидра – от одной избавляешься, а несколько появляются.


Гамильтон все же сумел применить методику потоков Риччи так, чтобы провести классификацию двумерных поверхностей. Это показало силу метода, но не более: двумерные поверхности были классифицированы задолго до того. Но и в размерности три Гамильтон смог продвинуться очень далеко. Он открыл новый путь в математике, хотя и не прошел по нему до конца.


Справиться с гидрой сингулярностей смог Григорий Перельман: он показал, что сингулярности не будут множиться бесконечно, рано или поздно они прекратятся. В первой из трех статей по предмету Перельман прямо писал, что дает краткий набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона).

После были ещё статьи и долгое их обсуждение в математическом сообществе. Что же сделал Перельман? Доказывал ли он гипотезу Пуанкаре?


На самом деле он справился с трудностями метода потоков Риччи и тем самым доказал гипотезу геометризации Тёрстона. И в качестве приятного бонуса отсюда следовала истинность гипотезы Пуанкаре. Вот за этот бонус и полагалась миллионная премия института Клэя, а вовсе не за основной результат.


Перельман отказался от премии в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. И объяснял это, в частности, тем, что основная работа сделана не им. Журналисты не могли пройти мимо и не написать о Перельмане; по дороге выяснилось, что способ жизни Перельмана очень своеобразный, и это стало другим поводом о нем писать. Фотографии и детали личной жизни привлекали внимание читателей гораздо больше, чем смысл его работы.


А если бы Перельман взял миллион? Из этого хайп сделать было бы еще проще: обвинить его в том, что Перельман забрал премию, хотя основную работу сделал Гамильтон*. И все, до конца дней не отмылся бы.

Прекрасная Матильда размышляет о пользе потоков Риччи для своей фигуры

Источник

*Гамильнон лично не считает, что Григорий Перельман ему чем-то обязан. Он вообще не помнил этой работы и не посчитал, что он достоин какой-то премии, ибо лично он задачу НЕ РЕШИЛ.

Григорий же не мог получить эти деньги, ибо живёт в таком районе, где иметь миллион долларов, как оказалось, в тот момент - было смертельно опасно.


Ему только присудили премию, а его уже начали настойчиво преследовать толпы безумцев, которые просили его поделиться или, в основном, отдать им всю премию "на благотворительность". Среди упорных просителей  насчёт "поделиться" оказалось, как писали СМИ,  даже местное отделение КПРФ. Естественно, придя в ужас за свою судьбу, а особенно за жизнь своей горячо любимой мамы, которую, теоретически, могли и похитить, Григорий Перельман отказался от этой смешной, с практической жизненной точки зрения, но весьма опасной с криминальной точки зрения суммы. Примечание Александра Палкина

Tags: Математика, Новое в науке и технике
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments